Горбунов В.Г., Постникова И.М.

 

РАЗРАБОТКА МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ОЦЕНКИ СЛОЖНЫХ ПРОЕКТОВ

 

Решение задач повышения эффективности управления предприятием, использования его ресурсов, инвестиционной деятельности и т. п. характеризуется множеством параметров, критериев и альтернатив из которых необходимо выбрать оптимальную. Такие задачи невозможно решить на основе формальных алгоритмов, поскольку в условиях множества противоречивых критериев сложно выбрать вариант, удовлетворяющий одновременно всем требованиям данного проекта. Поэтому принятие решения о выборе оптимального варианта в таких задачах предполагает участие проектировщика, которого в дальнейшем будем называть лицом, принимающим решение (ЛПР). Его участие осуществляется в интерактивном режиме для введения системы предпочтения ЛПР на различных этапах решения задачи. Реализация такого режима выполняется с использованием математической модели задачи принятия решений. Эта модель позволяет формализовать предпочтения ЛПР о достоинствах и недостатках сравниваемых вариантов. Затем провести их количественную оценку и анализ для упорядочения альтернатив на основе введенной системы предпочтений ЛПР.

Определим многокритериальную задачу принятия решений в виде1:

opt {f1 (a/ ), f2 (a/ ), ..., fк (a/ ); a/  А} a/   П

где: a/ -оптимальный вариант решения задачи из множества возможных А;

fυ (a/) -локальный критерий, оценивающий качество проекта (например, себестоимость, прибыль, производительность и др.); υ ;

к -количество локальных критериев;

п -паретовское множество вариантов1, где каждый вариант аПА содержит значения критериев, которые не могут быть улучшены одновременно;

opt -символ, определяющий систему предпочтений предпринимателя с целью поиска оптимального варианта решения задачи.

Таким образом, выбор оптимального варианта осуществляется на основе компромисса между улучшением одних и ухудшением других значений локальных критериев. Этот компромисс достигается с использованием опыта и интуиции проектировщика.

Пусть f(•) - локальный критерий, "а" и "b" - два частных решения из множества А. Тогда функция предпочтения выражает отношение ЛПР к решению "а" относительно "b". Значения этой функции для каждого критерия лежат в пределах от 0 до 1. Чем меньше значение функции, тем больше безразличие ЛПР, чем ближе оно к 1, тем больше его предпочтение. В случае строгого предпочтения функция равна 1.

Определим функцию предпочтений для решений "а" и "b" следующим образом:

Для конкретных случаев функция p(•) может быть преобразована к виду:

,

определяемому на разности величин f(a) и f(b).

Для моделирования ситуации принятия решений предлагается метод2, позволяющий формализовать систему предпочтений ЛПР на основе 6 типов функций предпочтения. Каждый критерий идентифицируется ЛПР с помощью нескольких параметров в диалоговом режиме.

Рассмотрим типы функций предпочтения.

ТИП 1. Обычный критерий.

В этом случае функция имеет вид:

Это означает безразличие между а и b тогда и только тогда, когда f(a)=f(b). Если эти величины принимают различные значения, то ЛПР отдаёт строгое предпочтение тому решению, которое имеет большее значение.

ТИП 2. Квазикритерий. Функция предпочтения имеет вид:

где l- некоторый порог.

Частные решения а и b для данного критерия f(•) будут безразличны до тех пор, пока различие между f(a) и f(b) не превысит порогового значения l. В противном случае предпочтение становится строгим. Здесь от ЛПР требуется только определить параметр l.

ТИП 3. Критерий с линейным предпочтением. Для этого случая функция имеет вид:

 

 

Это позволяет ЛПР усиливать предпочтение "а" перед "b" по мере нарастания различия между значениями f(a) и f(b). Интенсивность предпочтения растёт линейно до тех пор, пока это различие не станет равным "m", после чего величина предпочтения становится строгой.

ТИП 4. Ступенчатый критерий. Функция предпочтения имеет вид:

В этом случае решения "а" и "b" считаются безразличными, если различие между f(a) и f(b) не превышает порога "q". Нa участке (q, q+p) предпочтение является слабым. Когда значение x начинает превышать величину (q+p), предпочтение становится строгим.

ТИП 5. Критерий с линейным предпочтением и областью безразличия. Для него функция предпочтения:

В этом случае ЛПР считает, что "а" и "b" безразличны до тех пор, пока различие между f(a) и f(b) не превышает порогового значения s. На интервале свыше этой величины интенсивность предпочтений начинает расти до того момента, пока различие не станет равным (s+г).

ТИП 6. Гауссовский критерий. Функция предпочтения:

Здесь предпочтение ЛПР плавно растет с увеличением различия по x. Величина σ может быть легко зафиксирована на основе экспериментальных данных, полученных согласно нормальному статистическому закону распределения.

Для идентификации 6 типов критериев и их параметров предлагается алгоритм диалоговой процедуры.

Шаг 1. Определяются два направления диалоговых и вычислительных процедур: а) для типов критериев 1,3,6, где предпочтение ЛПР растет, если разность значений функции предпочтения двух вариантов имеет любое различие; б) для типов критериев 2,4,5, где существуют пороги безразличия между сравниваемыми вариантами до определенных пределов. В случае выбора направления а) переход к шагу 1.1, если направление б) -переход к шагу 1.2.

Шаг 1.1. Определение характера возрастания предпочтения между вариантами по мере нарастания различия между функцией предпочтения для этих вариантов. В результате возникают два направления: а) для типа критерия 1, когда при любом различии ЛПР отдает строгое предпочтение тому решению, которое имеет большее значение; б) для типов 3 и 6, когда различия между вариантами отображаются по различным законам функции предпочтения. В случае выбора направления а) критерию соответствует тип 1, если направление б)  -переход к шагу 1.1.1.

Шаг 1.1.1. Определяется характер возрастания предпочтения между вариантами по мере возрастания различия между функциями предпочтения для типов 3 и 6. В результате возникают два направления: а) -предпочтения ЛПР плавно растет с увеличение различия между функциями предпочтений, что соответствует выбору критерия типа 6; б) -предпочтение ЛПР растет линейно, что соответствует выбору критерия типа 3.

Шаг 1.2. Определение величины порогов безразличия критериев типа 2,4,5 и возможность дальнейшего изменения предпочтения после этих порогов. В результате возникают два направления: а) -после порога безразличия предпочтение становится строгим, что соответствует выбору критерия типа 2; б) -существует вероятность изменения предпочтений между вариантами после порога безразличия, это соответствует критериям типа 4 и 5. В случае выбора направления а) принимаем решение о выборе критерия типа 2, в случае б) -переход к шагу 1.2.1.

Шаг 1.2.1. Определение характера изменения предпочтений после порога безразличия. В результате возможны два направления: а) - возможен ступенчатый характер изменения предпочтений, тогда выбирается критерий типа 4; б) -характер изменения предпочтений линейный до заданного предела, после чего становится строгим, это соответствует критерию типа 5.

В качестве примера рассмотрим проектирование участка цеха для изготовления продукции. Рассматриваются 6 критериев и 6 вариантов проектных решений.

fl(·) - количество требуемых рабочих;

f2(·) - количество продукции;

fЗ(·) - цена продукции;

f4(·) - стоимость оборудования (млн. $);

f5(·) - площадь (м2);

f6(·) - мера качества продукции.

Для каждого критерия ЛПР идентифицирует следующие функции предпочтений:

                                      

                     

                                     

Исходные данные по критериям и вариантам приведены в следующей таблице:

Таблица 1.

Крите-рии

Min

Max

Варианты

Тип критерия

Пара-метры

a1

a2

a3

a4

a5

a6

f1

Min

80

65

83

40

52

94

2

l=10

f2

Max

90

58

60

80

72

96

3

m=30

f3

Min

60

20

40

100

60

70

5

s=5,

r=45

f4

Min

5,4

9,7

7,2

7,5

2

3,6

4

q=1,

p=5

f5

Min

8

1

4

7

3

5

1

-

f6

Max

5

1

7

10

8

6

6

σ=5

Величину предпочтения варианта "а" над "b" для всех критериев определим с помощью индекса по формуле:

Чем ближе значение индекса к 1, тем сильнее предпочтение. Таблица значений индексов имеет следующий вид:

Таблица 2.

 

ВЕЛИЧИНЫ π(a1, aj)

a1

a2

a3

a4

a5

a6

Ф+(а)

a1

-

0,296

0,250

0,269

0,100

0,185

1,099

a2

0,462

-

0,389

0,333

0,296

0,500

1,980

a3

0,236

0,180

-

0,333

0,056

0,429

1,234

a4

0,399

0,505

0,305

-

0,223

0,212

1.644

a5

0,444

0,515

0,487

0,380

-

0,449

2,274

a6

0,286

0,399

0,250

0,432

0,133

-

1,500

Ф-(а)

1,827

1,895

1,681

1,786

0,808

1,744

 

Поскольку все критерии имеют некоторую значимость, поэтому вводится понятие «графа взвешенного превосходства». Граф, вершины которого являются решениями множества «К» такими, что для всех а, b Î А дуга (аb) имеет величину π(а, b), будет называться графом взвешенного превосходства. Если «а» доминирует над «b», то π(b, a)=0, но π(а, b) не обязательно равно 1, т.е. без строгого предпочтения. В этом случае задача моделирования ситуации принятия решений состоит в использовании величины взвешенного графа для построения полного упорядочения вариантов на множестве "К".

Рассмотрим величину графа взвешенного превосходства и определим для каждой вершины «а» выходной поток:

и входной поток:

Данные по Ф+(а) и Ф -(а) представим в виде следующей таблицы (табл.3).

Таблица 3.

 

a1

a2

a3

a4

a5

a6

Ф+(а)

1,099

1,980

1,234

1,644

2,274

1,500

Ф-(а)

1,827

1,895

1,681

1,786

0,808

1,744

Чем больше Ф+(а), тем выше величина доминирования "а" над другими вариантами из множества К. Доминирование "а" уменьшается с понижением значения Ф-(а). При этом возможно обеспечить ранжирование вариантов, т.е. провести их полное упорядочение. Для этого по каждому варианту вычисляют значение:

,

которое можно использовать для ранжирования вариантов:

"a" превосходит "b"

"a" безразлично к "b"

Таким образом, по таблице 3 вычислим потоки для каждого варианта:

                                 

Эти потоки отображают полное упорядочение вариантов в виде следующего графа:

В результате удалось определить вариант №5 как наиболее лучший и построить ряд предпочтений среди других вариантов. Действительно, для этого варианта наблюдается превосходство по большинству значений следующих критериев: количество требуемых рабочих, количество продукции, мера качества. При не самых худших значениях цены продукции и площади участка удается достичь минимальной стоимости оборудования.

Предлагаемый метод реализован в рамках диалоговой системы для анализа и принятия решений1 и может использоваться в условиях, когда:

1. Невозможно ранжировать критерии с помощью весовых коэффициентов;

2. Невозможно найти условия эквивалентности качества ввиду несравнимости значений критериев;

3. Наблюдается незначительная градация по шкале предпочтений и важно соблюдать дискретность значений критериев по технологическим условиям.

 


1 Горбунов В.Г., Львович Я.Е. Модели, алгоритмы и программные средства принятия решений в САПР. Учебное пособие. -Воронеж: ВГТУ, 1995. -с. 7

1 Горбунов В.Г., Львович Я.Е. Модели, алгоритмы и программные средства принятия решений в САПР. Учебное пособие. -Воронеж: ВГТУ, 1995. - с. 6-7

2 Горбунов В.Г., Гальперин Б.Г., Самсонов В.С. Разработка диалоговой системы для анализа и принятия решений. Сб.: Теория и практика машиностроительного оборудования; тезисы межвузовской научно -технической конференции. Вып. 2. -Воронеж, ВГТУ, 1997, с.89-90

1 Горбунов В.Г., Гальперин Б.Г., Самсонов В.С. Разработка диалоговой системы для анализа и принятия решений. Сб.: Теория и практика машиностроительного оборудования; тезисы межвузовской научно -технической конференции. Вып. 2. -Воронеж, ВГТУ, 1997, с.89-90